二次函数的定义

二次函数是形如\(y = ax^{2}+bx + c\)（\(a\neq0\)，\(a\)、\(b\)、\(c\)是常数）的函数。其中\(x\)是自变量，\(y\)是因变量。例如\(y = 2x^{2}+3x - 1\)，这里\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(c = -1\)。

二次函数的图象

二次函数的图象是一条抛物线。当\(a > 0\)时，抛物线开口向上；当\(a < 0\)时，抛物线开口向下。其对称轴公式为\(x = -\frac{b}{2a}\)。例如对于二次函数\(y = x^{2}-2x + 1\)，\(a = 1\)，\(b = -2\)，那么对称轴就是\(x = -\frac{-2}{2\times1}= 1\) 。

二次函数的顶点坐标

二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)的顶点坐标为\((-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})\)。以\(y = 2x^{2}-4x + 3\)为例，\(a = 2\)，\(b = -4\)，\(c = 3\)，对称轴\(x = -\frac{-4}{2\times2}= 1\)，将\(x = 1\)代入函数可得\(y = 2\times1^{2}-4\times1 + 3 = 1\)，所以顶点坐标为\((1, 1)\)。

二次函数的应用

二次函数在实际生活中有广泛的应用，比如在物理学中，物体做平抛运动的轨迹可以用二次函数来描述；在经济学中，成本函数、利润函数等有时也会是二次函数的形式。例如，某商品的销售单价为\(x\)元，销售量\(y\)与单价\(x\)的关系为\(y = -x^{2}+100x\)，通过分析这个二次函数，我们可以找到使利润最大的销售单价。